একটি রেখাখণ্ডের জন্য রেখার ইকুয়েশন নির্ণয়#
কাজটা হলো: একটা রেখাখণ্ডের (segment) প্রান্তবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটা নির্মাণ করো।
আমরা ধরে নিচ্ছি রেখাখণ্ডটি অধঃপতিত নয়, অর্থাৎ এর দৈর্ঘ্য শূন্যের চেয়ে বেশি (অন্যথায়, অবশ্যই, অসীম সংখ্যক ভিন্ন রেখা এর মধ্য দিয়ে যায়)।
দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র#
ধরি দেওয়া রেখাখণ্ড হলো $PQ$ অর্থাৎ এর প্রান্তবিন্দুর পরিচিত স্থানাঙ্ক $P_x , P_y , Q_x , Q_y$।
সমতলে রেখার ইকুয়েশন নির্মাণ করতে হবে যেটা এই রেখাখণ্ডের মধ্য দিয়ে যায়, অর্থাৎ রেখার ইকুয়েশনে $A , B , C$ সহগ নির্ণয় করতে হবে:
$$A x + B y + C = 0.$$লক্ষ্য করো যে প্রয়োজনীয় ত্রয়ী $(A, B, C)$-র অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে যেটা দেওয়া রেখাখণ্ড দেখায়: তুমি তিনটা সহগকেই একটা যেকোনো অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে একই সরলরেখা পাবে। তাই আমাদের কাজ হলো এই ত্রয়ীগুলোর একটি খুঁজে বের করা।
সহজেই যাচাই করা যায় (এই রাশিগুলো ও $P$ ও $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক সরলরেখার ইকুয়েশনে প্রতিস্থাপন করে) যে সহগের নিচের সেটটা খাপ খায়:
$$\begin{align} A &= P_y - Q_y, \\ B &= Q_x - P_x, \\ C &= - A P_x - B P_y. \end{align}$$পূর্ণসংখ্যা ক্ষেত্র#
সরলরেখা নির্মাণের এই পদ্ধতির একটি গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হলো যদি প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে প্রাপ্ত সহগগুলোও পূর্ণসংখ্যা হবে। কিছু ক্ষেত্রে, এটা বাস্তব সংখ্যা ব্যবহার না করেই জ্যামিতিক অপারেশন সম্পাদন করতে দেয়।
তবে, একটি ছোট অসুবিধা আছে: একই সরলরেখার জন্য ভিন্ন ত্রয়ী সহগ পাওয়া যেতে পারে। এটা এড়াতে, কিন্তু পূর্ণসংখ্যা সহগ থেকে সরে না গিয়ে, তুমি নিচের কৌশলটা প্রয়োগ করতে পার, যাকে প্রায়ই রেশনিং বলা হয়। $| A | , | B | , | C |$ সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ ফ্যাক্টর নির্ণয় করে তিনটি সহগকেই সেটা দিয়ে ভাগ করি, তারপর চিহ্নের নরমালাইজেশন করি: যদি $A <0$ বা $A = 0, B <0$ হয় তাহলে তিনটি সহগকেই $-1$ দিয়ে গুণ করি। তারমানে, অভিন্ন সরলরেখাগুলোর জন্য অভিন্ন ত্রয়ী সহগ পাওয়া যাবে, যেটা সরলরেখাগুলোর সমতা পরীক্ষা করা সহজ করে দেয়।
বাস্তব সংখ্যা ক্ষেত্র#
বাস্তব সংখ্যা নিয়ে কাজ করার সময়, সর্বদা ত্রুটি সম্পর্কে সচেতন থাকা উচিত।
$A$ ও $B$ সহগের মান মূল স্থানাঙ্কের ক্রমের হবে, $C$ সহগ তাদের বর্গের ক্রমের। এটা ইতিমধ্যেই বেশ বড় সংখ্যা হতে পারে, এবং উদাহরণস্বরূপ, যখন আমরা সরলরেখা ছেদ করি, তারা আরও বড় হবে, যা প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $10^3$ ক্রমের হলেই বড় রাউন্ডিং ত্রুটি ঘটাতে পারে।
তাই, বাস্তব সংখ্যা নিয়ে কাজ করার সময়, তথাকথিত নরমালাইজেশন করা ভালো, এটা সরল: সোজা কথায়, সহগগুলো এমন করা যে $A ^ 2 + B ^ 2 = 1$। এটা করতে, $Z$ সংখ্যাটা গণনা করো:
$$Z = \sqrt{A ^ 2 + B ^ 2},$$এবং তিনটা সহগ $A , B , C$ কেই এটা দিয়ে ভাগ করো।
এভাবে, $A$ ও $B$ সহগের ক্রম ইনপুট স্থানাঙ্কের ক্রমের উপর নির্ভর করবে না, এবং $C$ সহগ ইনপুট স্থানাঙ্কের সমান ক্রমের হবে। বাস্তবে, এটা গণনার নির্ভুলতায় উল্লেখযোগ্য উন্নতি আনে।
সবশেষে, আমরা সরলরেখার তুলনা উল্লেখ করি — আসলে, এই নরমালাইজেশনের পর, একই সরলরেখার জন্য শুধুমাত্র দুটি ত্রয়ী সহগ পাওয়া যেতে পারে: $-1$ দিয়ে গুণ পর্যন্ত। তদনুযায়ী, আমরা যদি চিহ্ন কনসিডার করে একটি অতিরিক্ত নরমালাইজেশন করি (যদি $A < -\varepsilon$ বা $| A | < \varepsilon$, $B <- \varepsilon$ হয় তাহলে $-1$ দিয়ে গুণ করি), তাহলে প্রাপ্ত সহগগুলো অনন্য হবে।
ত্রিমাত্রিক ও বহুমাত্রিক ক্ষেত্র#
ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে ইতিমধ্যেই সরলরেখা বর্ণনাকারী কোনো সরল ইকুয়েশন নেই (এটাকে দুটো সমতলের ছেদ হিসেবে, অর্থাৎ দুটো ইকুয়েশনের সিস্টেম হিসেবে ডিফাইন করা যায়, কিন্তু এটা একটা অসুবিধাজনক পদ্ধতি)।
তাহলে, ত্রিমাত্রিক ও বহুমাত্রিক ক্ষেত্রে আমাদের সরলরেখার প্যারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে, অর্থাৎ একটা বিন্দু $p$ ও একটা ভেক্টর $v$ হিসেবে:
$$p + v t, ~~~ t \in \mathbb{R}.$$অর্থাৎ একটি সরলরেখা হলো সেই সব বিন্দু যা $p$ বিন্দু থেকে $v$ ভেক্টরকে যেকোনো সহগে যোগ করে পাওয়া যায়।
রেখাখণ্ডের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে প্যারামেট্রিক রূপে সরলরেখার নির্মাণ সরল, আমরা রেখাখণ্ডের এক প্রান্তকে বিন্দু $p$ হিসেবে এবং প্রথম থেকে দ্বিতীয় প্রান্ত পর্যন্ত ভেক্টরকে ভেক্টর $v$ হিসেবে নিই।